Pastor Bayes kriegt die Krise: Massentestung auf Corona

Wie die umliegenden Länder setzt die Schweiz bei der Bekämpfung der Sars-Cov-2- Epidemie auf Massentestung. Täglich werden derzeit knapp 10’000 sogenannte PCR-Tests durchgeführt. Kapazitäten sind für 25’000 Tests vorhanden. Bundesrat Berset will sie mit Blick auf die Grippesaison noch verdoppeln. Er peilt 50’000 Testungen pro Tag an. Würde das umgesetzt, käme es zu einer wahllosen Überdiagnostik – Personen mit Schnupfen überlaufen bereits heute die Arztpraxen. Selbst bei der derzeitigen Testanzahl wird mit hoher Wahrscheinlichkeit mehr Schaden angerichtet als Nutzen gestiftet. Der Gesundheitsminister und seine Experten fallen durch den Bayes’ Test. Da sind sie leider nicht die Einzigen – eigentlich erstaunlich, wurde das Theorem des presbyterianischen Pastors Bayes doch bereits 1764 publiziert.

Bayes Theorem:  ΩnT = ΩvT x LR  
(Chance nach Test = Chance vor Test x LR)

LR ist die Likelihood Ratio, die angibt, um welchen Faktor höher die Wahrscheinlichkeit liegt, ein positives Testergebnis zu erhalten, falls eine Person Trägerin des Virus, als wenn sie nicht infiziert ist.

LR = Se / (1-Sp)   (Se: Sensitivität, Sp: Spezifität des Tests)

Gemäss der Literatur1 erkennt der gängige PCR-Test 83% der Virusträger (Se) und 97,6% der Nicht-Infizierten korrekt (Sp). Somit ist LR = 34. Das ist an sich ein ausgezeichneter Wert für einen Test. Ebenso entscheidend aber ist gemäss dem Theorem von Bayes die Vortestchance, also das Zahlenverhältnis von Virusträgern und Nicht-Infizierten in der Bevölkerung.

Nach nachfolgender Überschlagsrechnung liegt das derzeitige Infektionsrisiko bei Sars-Cov-2 in der Schweiz deutlich unter 1%. Aktuell gibt es pro Tag rund 400 laborbestätigte Fälle. Gehen wir zusätzlich von einer 25fachen Dunkelziffer und einer Nachweisbarkeit der Infektion von 20 Tagen aus, beträgt die Infektionsrate bei der Schweizer Bevölkerungsgrösse (8,5 Mio.) lediglich 0,04%. Bei dieser Rechnung haben wir die Eigenschaften des Tests (Se und Sp) eingerechnet. Die aktuelle «Chance», in der Schweiz Virusträger zu sein, liegt damit bei 1 zu 2250. Ein positiver Test-Ausgang erhöht diese Chance auf 1 zu 65. Die Dunkelziffer mag kleiner sein, so dass die Chancen, selbst bei positivem Testausgang nicht infiziert zu sein, noch besser stehen. Die Chance nach Test von 1 zu 65 gibt uns auch das Verhältnis von richtig- zu falsch-positiv Getesteten an. Bei diesem Wert ist der Anteil der falsch-positiv Getesteten an allen positiv Getesteten 98,5%. Im Lichte von Bayes schneidet die Massentestung somit miserabel ab.

Diese Rechnung hat möglicherweise ein Problem. Die offizielle Rate der während den letzten zwei Wochen in der Schweiz laborbestätigten positiven Fälle liegt bei 3,4%: 4734 von 137’873 Getesteten waren positiv. Mit Se, Sp und dem Bayes’ Theorem können wir wiederum auf die Infektionsrate zurückrechnen. Sie beträgt 1,29% und damit die Vortest-Chance 1 zu 75. Die Chance nach positivem Testausgang beträgt dann 1 zu 2,2 gegen das Vorliegen der Infektion. Damit sinkt der Anteil der falsch-positiv Getesteten auf 68,5%, ein deutlich besserer Wert als 98,5%, aber immer noch ganz unbefriedigend.

Allerdings stellt sich jetzt die Frage nach den Eigenschaften des PCR-Tests in der Praxis. Die Güte des Tests ist nämlich bisher nur unter Laborbedingungen ermittelt worden. Wir lösen die Gleichung von Bayes nach LR auf und erhalten 0,06. Ein Test ist aber nur dann besser als der Zufall, falls seine LR grösser als 1 ist. Das wird hier bei weitem verfehlt. Die Kombination einer 3,4% Positivrate bei 400 positiven Fällen mit den bekannten Eigenschaften vom PCR-Test und dem Virus geht hinten und vorne nicht auf. Vom BAG und der Swiss National Covid-19 Science Task Force vernimmt man dazu leider nichts.

Die derzeit in der Schweiz verfolgte Teststrategie zur Eindämmung der Covid-19-Pandemie ist verfehlt. Sie ist teuer und mit hoher Wahrscheinlichkeit nutzlos. Ärztlich begründete Verdachtsfälle werden genauso getestet wie Personen mit respiratorischen Symptomen. Die Positiv-Getesteten werden isoliert und müssen unter Umständen wie ihre Angehörigen und weitere Personen in Quarantäne. Während dieser Zeit können sie nicht arbeiten und es entstehen zusätzliche Kosten für weitere Abklärungen. Zudem fällt ins Gewicht, dass ein richtig positiver Testausgang nicht bedeutet, dass der Virusträger noch ansteckend ist. Die Viruslast ist nur in den ersten Tagen nach Infektion hoch. Es entstehen somit hohe Kosten mit falsch-positiven, als auch mit richtig-positiven, aber nicht mehr ansteckenden Fällen.

Statt die Tests auszuweiten, sollten sie eingeschränkt werden. Die richtige Strategie wäre, nur Personen mit hohem Risiko auf das Vorliegen einer Infektion zu testen. Vor über einem halben Jahr wurde die Covid-19 Pandemie verkündet. Die Schweiz muss in diesem Jahr mit einem Verlust von 5% ihres BIP rechnen und Bund und Kantone haben mittlerweile Dutzende von Milliarden Franken für die Eindämmung der Pandemie ausgegeben. Täglich publiziert das BAG die Anzahl der positiv-getesteten Corona-Fälle und addiert sie auf mittlerweile rund 54’000, obwohl diese Zahl wenig aussagekräftig ist. Es wäre an der Zeit, die Bevölkerung über die tatsächlichen Risikoverhältnisse, einschliesslich der Eigenschaften des eingesetzten Tests zu informieren, gerade jetzt, wo eine Ausweitung der Testungen angepeilt wird; eine Strategie, die den Einsichten des Bayes’ Theorems diametral entgegenläuft.

  1. Surkova, E. Nikolayevskyy, V. Drobniewski, F., False-positive COVID-19 results: hidden problems and costs, The Lancet, Respitory Medicine (https://doi.org/10.1016/S2213-2600(20)30453-7). Die Autoren berichteten am 29. Sept. 2020 auf der Grundlage einer Metanalyse von Studien für den PCR-Test eine Sensitivität zwischen 67%-98% und eine Spezifität von 96%-99,2%. Die oben unterstellten Werte entsprechen dem jeweiligen Durchschnitt.

14 Kommentare

  1. Das ist wie wenn man die Brille zuhause vergessen hat, und dann denkt: „Hm, ich seh nicht so gut, ich mach besser die Augen zu, um die Strasse zu überqueren“. Wie war das nochmal mit der Bayes’schen Inferenz?
    Wenn man die false-positives verringern will, sollte man Positive mehrmals testen (evtl. auch mit Zweitproben, andere Tests, etc.). Das ist nicht besonders teuer, da man lediglich die Positiven testet.
    Wenn man bekümmert ist, dass wir wegen den false-positives zuviel wirtschaftlichen Schaden mit Quarantänemassnahmen verursachen, sollte man diese Wahrscheinlichkeit in die Massnahmen einbeziehen. zB eine 10% kürzere Quarantänezeit.

  2. kann man davon ausgehen, dass es verpasst wurde, im Sommer eine kontrollierte Durchseuchung der jüngeren Menschen zuzulassen und damit die Immunisierung weiter Teile der Bevölkerung voranzutreiben?

    1. Um Herdenimmunität zu erreichen müssten 5 Mio. der Schweizer Bevölkerung infiziert werden. Das wäre nicht mal in 5 Jahren zu erreichen, ohne das Gesundheitssystem zu überfordern. Aber Sie haben grundsätzlich recht, eine im letzten Halbjahr vermiedene Infektion kann jetzt, im Winter oder im nächsten Jahr auftreten (vgl. mein Blog von anfangs Mai https://unibaswwzfaculty.blog/2020/05/05/epidemiologie-und-oekonomie-des-coronavirus/) . Solange kein Impfstoff verfügbar ist, bleibt das Dilemma bestehen.

  3. Der Beitrag ignoriert, dass positive Tests jeweils durch einen Zweittest bestätigt werden müssen (B-Probe). Die mathematischen Ausführungen (Anteil falsch-positiv Getesteter sinkt durch 2xTestung deutlich) und postulierten wirtschaftlichen Folgen sind deshalb unvollständig bzw. irreführend.

      1. Besten Dank für die prompte Antwort. Ich habe den Artikel gelesen. Ein zweiter Test (in der CH z.B. durch das Referenzlabor im Genf) wird darin m.E. nicht erwähnt.

        Hingegen steht im Lancet Bericht: „Thirdly, policies regarding the testing and prevention of virus transmission in health-care workers might need adjustments, with an immediate second test implemented for any health-care worker testing positive.“

        und im von Lancet zitierten Artikel (Cohen, 2020): „Third, falsepositives could be greatly reduced—though at the cost of increasing false negatives and consuming testing resources—by requiring two positive tests to count an individual as positive.“

        Freundliche Grüsse

  4. Anders gesagt: Die ganze Coronistische Politik von Bund und Kantonen ist grober Unfug. Nicht nur ergibt die Teststrategie rational keinen Sinn. Was noch viel schlimmer ist: Wir haben nach wie vor kein funktionierendes Schutzkonzept für die Risikopopulation. Wir haben nicht einmal ein Inventar, das uns zeigt, wer zur Risikopopulation gehört, wo diese zuhause sind, wie sie untergebracht sind.

    1. Das ist im übrigen das erste mal, wo ich ein Beispiel vorgerechnet bekomme, bei dem ich als Biologe den Nutzen von bayesian statistics erkenne. Also danke für die Mühe!

    2. @LEgloff
      Ich denke die Idee mit zwei Tests ist ein weiterer statistischer Trugschluss. Die Angaben über die Sensitivität eines PCR-Tests gelten nur unter der Annahme, dass alle Tests voneinander unabhängig sind.
      Diese Annahme würde aber verletzt, denn die Ursache weshalb eine Person falsch positiv getestet wurde ist ja auch im zweiten Test evtl. noch vorhanden. Denn aus verschiedensten Gründen (bereits überstandene corona Infektion, sonstige corona-verwandte Viren) könnte jemand DNR haben, auf die der Test anschlägt.

      1. Denkbar ist auch, dass der zweite Test aus einer Reserveprobe von einem fehlerhaften Abstrich kommt.
        Zum Corona-Screening gibt es eine Cochrane Review vom 15. Sept. Diese Meta-Analyse von bisher zugänglichen Studien wertet die Evidenz der Testgüte als wenig belastbar.
        Viswanathan M, Kahwati L, Jahn B, Giger K, Dobrescu AI, Hill C, Klerings I, Meixner J, Persad E, Teufer B, Gartlehner G (2020) Universal screening for SARS-CoV-2 infection: a rapid review. Cochrane Database of Systematic Reviews. doi:10.1002/14651858.CD013718
        Unter der ausgewerteten Literatur ist eine von Arons, die die Güte des PCR-Tests bei wiederholtem Einsatz studierte. Zitat „Arons 2020 reported the accuracy of cumulative screenings in 76 nursing home residents (Kimball 2020 reported the results of the first screening). RT‐PCR was the reference standard. The study collected nasopharyngeal swabs on all residents and oropharyngeal swabs on most residents. Of the 76 nursing home residents tested in week one, 49 had tested negative and were retested in week two. Over the two‐week period, 62% tested positive. The sensitivity and specificity of the cumulative screening were 0.44 (95% CI 0.29 to 0.59) and 0.62 (95% CI 0.42 to 0.79) respectively. Arons 2020 also reported that 9 of 24 participants testing positive in the second screening at week two had symptoms (sensitivity: 0.38).“

  5. Die Corona Strategie hinterfragen

    Es ist einfach nicht objektiv, sich nur auf die erfassten infizierten Menschen zu konzentrieren. Durch die tendenziöse Berichterstattung von BAG und Gesundheitsdirektoren – gesteuert durch Virologen und Epidemiologen – konzentriert sich die Nation nur noch auf die täglich publizierte Zahl der erfassten Infizierten. Viel ehrlicher wäre es, die erfassten Infizierten ins Verhältnis zu setzen mit den Symptomlosen, Erkrankten (ev. unterschieden nach leicht und schwer), Hospitalisierten und Gestorbenen. Das Ganze noch ergänzt um die geschätzten nicht erfassten Infizierten.
    Nebst unendlichen Kosten, Aufwendungen und Leerläufen zur Schadensbehebung und Schäden (= menschliches Leid etc.), die man angerichtet hat, schafft man bei den Berufseinsteigern eine «verlorene Generation».

    Man müsste doch eine Schadensbilanz erstellen (Schaden, den die Massnahmen verhindern, und Schaden, den diese anrichten). Also aufzeigen, welches Mass an menschlichem Leiden durch all die Massnahmen auf der einen Seite verhindert werden kann, wobei bei den Verstorbenen zu berücksichtigen ist, dass sie nicht nur an, sondern mit COVID 19 gestorben sind, und was die gewaltigen Kosten dieser Massnahmen sind und ausserdem der Schaden und das Leid, welche damit angerichtet werden auf der anderen Seite. Und Schaden ist nicht nur der Wirtschaftseinbruch, sondern menschliches Leid das verursacht wird durch Konkurse, Arbeitslosigkeit, Zukunftsängste, Behandlung psychischer und körperlicher Schäden etc. (nebst der ärmeren Bevölkerung wird es vor allem die Jungen treffen, da der Staat und die Vorsorgeeinrichtungen in den nächsten Jahren grosse Einnahmen-Einbrüche haben werden).

    Aus dieser Schadenbilanz wird resultieren, dass die Gesundheitsbehörden im Sinne der Definition der Gesundheit durch die WHO keine gute Gesundheitspolitik betrieben, sondern versagt haben.

  6. Es ist in der Tat wichtig zu klären, wie man mit der Tatsache umgehen soll, dass die Wahrscheinlichkeit für false positives hoch ist, wenn die Ausgangswahrscheinlichkeit für einen positiven Fall extrem klein ist. Hier gibt es zwei Wege: 1. „Bedingt testen“, d.h. nur bei Anfangsverdacht (z.B. bei Symptomen oder im Zuge des Contact Tracing). 2. SP erhöhen, z.B. durch Wiederholung des Tests bei einem positiven Resultat. Was ist übrigens an der Aussage von Roche dran, die behaupten, SP ihres Tests sei 99.9%?

    1. Bei einer Spezifität von 99.9% (d.h. 1 falscher auf 1000 positiv Geteste) wäre Pastor Bayes sehr zufrieden. Aber das wird man im medizinischen Alltag kaum erreichen können. Gerade deshalb wäre es wichtig, die Testgüte unter Alltagsbedingungen zu ermitteln – das fehlt bisher.

      1. Will auch niemand. Denn dann könnte man den Pöbel nicht mehr in Angst und Schrecken versetzen und die Regierung müsste wieder Demokratie erlernen. Das haben die gar nicht gerne.

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